公称ひずみと真ひずみ｜CAEトピックス
 |
公称ひずみと真ひずみの違いについて少し考察してみたいと思います。公称ひずみについては機械系の技術者であればしっかり理解しているはず？と思いますが、真ひずみについてはなんとなくは解っていても、ちゃんとした定義について説明できる人は少ないのではないでしょうか。
真ひずみは線形の解析では用いることはないので馴染みがないと思います。しかし、非線形の解析を実施する場合は必ず必要になりますので、今のうちに理解しておきましょう。
まずは定義式から確認してみましょう。図1に棒材を引っ張った時の変形状態を示します。変形前の長さをl0、変形後の長さをl、長さの変化分をΔlとします。この時のひずみを公称ひずみと真ひずみで計算して違いを考察してみます。
公称ひずみεn
公称ひずみεnは長さの変化分(Δl)を元の長さl0で割った値です。式に表すと以下のようになります。
・・・(1)
・・・(2)
意味は単位長さあたりの変化量ということができます。ポイントは基準が変形前の長さになっているところです。公称ひずみではどんなに変形しても変形前の長さを基準にします。実は変形が大きくなるとひずみを正しく求められなくなるのですが、定義式からそれは読み取れませんので注意が必要です。
真ひずみεt
さて、次に真ひずみですが、これも基本は同じで長さの変化分を元の長さで割るのですが、元の長さの基準が異なります。真ひずみではある変形過程を想定し、長さの変化分dlをその直前の長さl'で割ります。そしてその時々で計算したひずみを変形前の長さから変形後の長さまで総和を取ることで全体のひずみを求めます。要は変形前の長さから変形後の長さまで積分してひずみを求めます。図2に棒材の変形過程も含めて寸法を定義した図を示します。
 |
・・・(3)
・・・(4)
式(4)のように、真ひずみは変形後の長さを変形前の長さで割って自然対数をとります。対数の形式をとるため対数ひずみとも呼びます。公称ひずみの式(2)と比べてみると違いは明らかですね。
公称ひずみと真ひずみの違い
 |
定義式の違いは解りましたが、これらの値はどのような特性を示すのでしょうか？簡単な例で計算して比較してみたいと思います。
図3に変形前の長さを100mmとしたときのひずみを公称ひずみと真ひずみで計算した例を示します。
両者は変形後の長さが100mm近傍、つまり変形が微小な時はほぼ同じ値を示しますが、変形が大きくなると異なる値を示すことが解ります。ではどちらが正しい値を示しているのでしょうか。以下で検証してみます。
図4に１00mmの棒材が120mmにまで変形させたときのひずみを、公称ひずみと真ひずみについて2つの方法で計算した値を示します。1つ目の方法は単純に100mmから120mmに変形した時のひずみを式(2)と式(4)を用いて計算した値(表中の③)。2つ目の方法は、100mmから110mmに変形した時のひずみと、110mmから120mmに変形した時のひずみを足し合わせて求めた値(表中の①+②)です。
 |
2つの方法で求めた値は一致するはずですが、公称ひずみについては一致しないことが解ります。また、真ひずみの値とも一致していません。つまり公称ひずみは大きな変形を伴う場合には正確な値を求めることができないのです。公称ひずみを用いる場合は、前提として"微小ひずみ"であることが条件になります。
(参考)
線形のFEM構造解析では微小ひずみが前提となっています。これは今回の公称ひずみ、真ひずみについての考察で明らかなように変形が大きくなると正確なひずみを求めることができなくなるためです。また、そもそもひずみが大きくなると材料が塑性してしまうため、材料特性の非線形性を考慮しなくなくてはならなくなるという理由もありますが。
その他、線形FEMでは微小変位も前提となっています。これは変形に伴って力の方向が変わる効果が考慮されないということです。そのような効果を考慮したい場合は大変形オプションを用います。